8.1.2.1. Основные теоремы 1
Теорема 1.2. | Если (S, ≤, ∧, ∨) - дистрибутивная решетка с дополнениями, то для каждого элемента x существует единственный дополняющий его элемент . |
При доказательстве данной и последующих теорем каждый шаг доказательства обосновывается. При этом аксиома или теорема, являющаяся основанием для рассматриваемого шага, указывается справа от преобразуемого выражения и отделяется от него вертикальной чертой.
Доказательство.
Предположим, что для некоторого элемента x существует два дополнения: 1 и 2. Согласно свойствам дополнения и свойству коммутативности операций ∧ и ∨ можно записать:
x ∧ 2 = 2 ∧ x = 0,
x ∨ 1 = 1 ∨ x = 1,
x ∨ 2 = 2 ∨ x = 1.
∣ А5а: свойство элемента 1 в ∧ ∣ А6б: свойство дополнения в ∨ ∣ А4а: дистрибутивность ∧ к ∨ ∣ А6а: свойство дополнения в ∧ ∣ А6а: свойство дополнения в ∧ ∣ А4а: дистрибутивность ∧ к ∨ ∣ А6а: свойство дополнения в ∨ ∣ А5а: свойство элемента 1 в ∧ |
Теорема 1.3. | (закон двойного дополнения). |
Доказательство.
Обозначим =
x , тогда x является дополнением элемента . Но согласно аксиомам А6а и
А6б элемент и его дополнение должны быть связаны следующими соотношениями:
Теорема 1.4. | a ∧ 0 = 0 (свойство 0 в ∧). |
Доказательство.
∣А5б: свойство 0 в ∨ ∣А6а: свойство дополнения в ∧ ∣А4а: дистрибутивность ∧ к ∨ ∣А5б: свойство 0 в ∨ ∣А6а: свойство дополнения в ∧ |
Теорема 1.5. | a ∨ 1 = 1 (свойство 1 в ∨). |
Доказательство.
∣А5а: свойство 1 в ∧ ∣А6б: свойство дополнения в ∨ ∣А4б: дистрибутивность ∨ к ∧ ∣А5а: свойство 1 в ∧ ∣А6б: свойство дополнения в ∨ |
Теорема 1.6. | a ∨ (a ∧ b) = a (поглощение элемента в ∧). |
Доказательство.
∣А5а: свойство 1 в ∧ ∣А4а: дистрибутивность ∧ к ∨ ∣Т*1.5: свойство 1 в ∨ ∣А5а: свойство 1 в ∧ |
Теорема 1.7. | a ∧ (a ∨ b) = a (поглощение элемента в ∨). |
Доказательство.
∣А5б: свойство 0 в ∨ ∣А4б: дистрибутивность ∨ к ∧ ∣Т*1.4: свойство 0 в ∧ ∣А5б: свойство 0 в ∨ |