Пред.Страница  След.Страница  Раздел  Содержание



8.1.2.1. Основные теоремы 1

Теорема 1.2. Если (S, ≤, ∧, ∨) - дистрибутивная решетка с дополнениями, то для каждого элемента x существует единственный дополняющий его элемент .

При доказательстве данной и последующих теорем каждый шаг доказательства обосновывается. При этом аксиома или теорема, являющаяся основанием для рассматриваемого шага, указывается справа от преобразуемого выражения и отделяется от него вертикальной чертой.

Доказательство.
Предположим, что для некоторого элемента x существует два дополнения: 1 и 2. Согласно свойствам дополнения и свойству коммутативности операций ∧ и ∨ можно записать:

x ∧ 1 = x1 ∧ x = 0,
x ∧ 2 = 2 ∧ x = 0,
x ∨ 1 = 1 ∨ x = 1,
x ∨ 2 = 2 ∨ x = 1.
Тогда
  ∣ А5а: свойство элемента 1 в ∧
∣ А6б: свойство дополнения в ∨
∣ А4а: дистрибутивность ∧ к ∨
∣ А6а: свойство дополнения в ∧
∣ А6а: свойство дополнения в ∧
∣ А4а: дистрибутивность ∧ к ∨
∣ А6а: свойство дополнения в ∨
∣ А5а: свойство элемента 1 в ∧
Полученное равенство противоречит предположению о существовании двух различных дополнений для одного элемента дистрибутивной решетки с дополнениями, что доказывает справедливость теоремы.


Теорема 1.3. (закон двойного дополнения).

Доказательство.
Обозначим = x , тогда x является дополнением элемента . Но согласно аксиомам А6а и А6б элемент и его дополнение должны быть связаны следующими соотношениями:

Из теоремы 1.2 следует, что x является единственным дополнением элемента , поэтому система уравнений (*) должна иметь единственное решение. С другой стороны, из аксиом А6а и А6б вытекает, что решением системы (*) является элемент a. Следовательно, x = = a.

Теорема 1.4. a ∧ 0 = 0 (свойство 0 в ∧).

Доказательство.
  ∣А5б: свойство 0 в ∨
∣А6а: свойство дополнения в ∧
∣А4а: дистрибутивность ∧ к ∨
∣А5б: свойство 0 в ∨
∣А6а: свойство дополнения в ∧



Теорема 1.5. a ∨ 1 = 1 (свойство 1 в ∨).

Доказательство.
  ∣А5а: свойство 1 в ∧
∣А6б: свойство дополнения в ∨
∣А4б: дистрибутивность ∨ к ∧
∣А5а: свойство 1 в ∧
∣А6б: свойство дополнения в ∨



Теорема 1.6. a ∨ (a ∧ b) = a (поглощение элемента в ∧).

Доказательство.
  ∣А5а: свойство 1 в ∧
∣А4а: дистрибутивность ∧ к ∨
∣Т*1.5: свойство 1 в ∨
∣А5а: свойство 1 в ∧



Теорема 1.7. a ∧ (a ∨ b) = a (поглощение элемента в ∨).

Доказательство.
  ∣А5б: свойство 0 в ∨
∣А4б: дистрибутивность ∨ к ∧
∣Т*1.4: свойство 0 в ∧
∣А5б: свойство 0 в ∨




Пред.Страница  След.Страница    Раздел    Содержание