Пред.Страница  След.Страница  Раздел  Содержание



8.1.2.4. Алгебра подмножеств

В качестве первого примера рассмотрим множество всех подмножеств непустого конечного множества М. Для простоты примем, что М состоит из трех элементов М = {u, ν, ω}. Тогда множество всех подмножеств М (степень множества М) имеет вид:

R = Р(М)={, {u}, {ν}, {ω}, {u, ν}, {u, ω}, {ν, ω}, {u, ν, ω}}.


Операции конъюнкции и дизъюнкции определим как известные операции пересечения и объединения множеств. Эти операции идемпотентны, коммутативны и ассоциативны, для них выполняются законы дистрибутивности (аксиомы А1 - А4).

Элементом 0 в рассматриваемом случае является пустое множество , а элементом 1 - множество М. При этом для любого подмножества m ∈ P выполняются аксиомы А5а и А5б:

m ∩ M = m
m ∪ = m


поскольку любой элемент P является подмножеством М.

Операцию дополнения определим следующим образом. Результатом дополнения подмножества m ∈ P является множество элементов М, не входящих в подмножество m. Например,



Из определения дополнения следует, что для любого подмножества m ∈ P выполняются аксиомы А6а и А6б:



Таким образом, множество P и операции пересечения, объединения, дополнения образуют булеву алгебру множества всех подмножеств множества М, в которой справедливы все введенные ранее аксиомы. Справедливость теорем в рассматриваемой алгебре рекомендуется проверить самостоятельно.




Пред.Страница  След.Страница    Раздел    Содержание