1. Условия задач
2. Алгоритмы решения задач

Материал сборника предназначен для подготовки студентов к олимпиадам по начертательной геометрии, для организации олимпиад и для углубленного изучения учебной дисциплины. (Печатается в соответствии с имеющимся в библиотеке СПбГЭТУ учебного пособия: Большаков В. П., Сакаев Р. А., Сергеев А.А. Сборник олимпиадных заданий по инженерной и компьютерной графике: Учеб. Пособие. СПб.: Изд-во СПбГЭТУ «ЛЭТИ», 2002. 64 с.).

Из имеющейся в СПбГЭТУ базы данных представлены 32 задачи, встретившиеся в разные годы на олимпиадах России, Москвы [1], С.-Петербурга и ведущих вузов страны.

Настоящий сборник задач представляет собой очередную редакцию методических указаний [2], дополненных и переработанных.

В таблице для удобства работы со сборником указаны номера задач в соответствии с традиционными разделами учебной дисциплины.

Отметим, что с возрастанием номеров задач сложность их решения нарастает. Это связано с линейно концентрическим принципом изложением содержания учебной дисциплины.

В разделе 5.1 даны условия ко всем задачам, а в разделе 5.2 - разобраны идеи их решений. В разделе 5.3 приведены примеры графических решений и оформления задач.

В ряде задач, например, в задачах 28 и 32, использование трехмерных систем геометрического моделирования позволяет существенно сократить трудоемкость их решения.

1. Условия задач

Задача 1. Электрокабели a и b соединить кабелем наименьшей длины при условии а₂||b_2.

Задача 2. Прямая t равноудалена от точек. А и В. Достроить недостающие проекции этих точек.

Задача 3. Построить плоскость, равноудаленную от прямых а и b. Задачу решить без способов преобразования чертежа.

Задача 4. Построить плоскость, равнонаклоненную к прямым m, n, k и проходящую через точку Т.

Задача 5. Построить плоскость проекций, на которую скрещива-ющиеся отрезки a и b проецируются как равные по модулю и парал-лельные по направлению.

Задача 6. Три скрещивающиеся заданные прямые пересечь четвер-той прямой.

Задача 7. Шар падает вниз на неподвижный шар D. Найти точку касания шаров.

Задача 8. Шар положен на доску, установленную на двух пирамидках из плотно уложенных таких же шаров (на виде сверху доска и стол условно не показаны). В какую сторону покатится шар по доске? Определить величину угла между плоскостями стола и доски.

Задача 9. Построить направление радиосигнала, прошедшего от антенны А к антенне В, отразившись от ионизированного облака (с||d). Угол падения считать равным углу отражения. Антенны точечные.

Задача 10. По двум проекциям а₂ и a₅  восстановить проекцию а₁.

Задача 11. Достроить квадрат ABCD, если BD – диагональ, расположенная горизонтально и лежащая на линии h, заданной горизонтальной проекцией.

Задача12. Радиомачта i с антенной установлена на крыше здания и поддерживается в вертикальном положении растяжками АВ длиной /АВ/ = m. Найти точки А и В крепления растяжки соответственно на мачте и крыше из условия: АВ^П₁ = 45°, АВ^П₂ = 30°. Сколько растяжек возможно установить?

Задача 13. Самолет перемещается по прямолинейной траектории t. В какой точке пути слышимость им радиостанций A и Bбудет одинаковой? Физическими условиями пренебречь.

Задача 14. В точках А и В находятся радиолокаторы. Самолет пере-мещается в направлении t. Определить точки, в которых лучи лока-торов будут сходиться к самолету, пересекаясь под прямым углом.

Задача 15. Поместить источник света D на высоте h так, чтобы середины картин B, C и середина поверхности стола A освещались одинаково.

Задача 16. Построить дополнительную вертикальную плоскость проекций так, чтобы траектория tдвижения объекта оказалась в биссекторной плоскости новой системы плоскостей проекций.

Задача 13. Самолет перемещается по прямолинейной траектории t. В какой точке пути слышимость им радиостанций A и Bбудет одинаковой? Физическими условиями пренебречь.

Задача 14. В точках А и В находятся радиолокаторы. Самолет перемещается в направлении t. Определить точки, в которых лучи локаторов будут сходиться к самолету, пересекаясь под прямым углом.

Задача 15. Поместить источник света D на высоте h так, чтобы середины картин B, C и середина поверхности стола A освещались одинаково.

Задача 16. Построить дополнительную вертикальную плоскость проекций так, чтобы траектория tдвижения объекта оказалась в биссекторной плоскости новой системы плоскостей проекций.

Задача 17. Стрелок А ожидает появления из-за сопки цели B, движущейся по траектории с. Построить точку B, соответствующую моменту появления цели.

Задача 18. В точках A и B находятся лазеры. Определить точку возможного положения ракеты C, если ее расстояния до лазеров равны соответственно 20 и 14 км. Высота полета 10 км, /AB/ = 20 км.

Задача 19. Малая планета S (точечный источник) освещает планету радиуса r с центром в точке О. Тень от планеты падает на планету-гигант D, поверхность которой условно плоская и задана двумя каналами fи h. Определить контур тени на планете D.

Задача 20. Построить проекцию фронтально проецирующей прямой, при вращении вокруг которой окружность, описанная вокруг DABC, совместится всеми своими точками с боковой поверхностью прямого эллиптического конуса.

Задача 21. Положение борта корабля задано прямыми аççb. На расстоянии m от края а над палубой расположена артиллерийская установка Е. Определить минимальное расстояние /ЕК/, с которого может быть сделан выстрел по цели К, движущейся по траектории t .

Задача 22. При наблюдении из пункта А часть траектории t космического аппарата С загорожена планетой . Найти эту часть.

Задача 23. Каркас заградительного щита состоит из двух скрепленных в точке К стержней а и b равной длины и одинаково наклоненных к земной поверхности. Какое положение должен занимать стержень b, чтобы угол наклона щита к земле составил 60° ?

Задача 24. Построить проекции сферы, касающейся граней ABCи ABDдвугранного угла с общим ребром АВ, а также горизонтальной и фронтальной плоскостей проекций.

Задача 25. Повернуть DABC вокруг стороны ABдо положения, когда фронтальная проекция угла при вершине Cстанет равной 90°.

Задача 26. Построить проекции линии пересечения поверхности тора с конической поверхностью вращения вокруг оси h и вершиной в точке A. Угол при вершине конуса равен 60°.

Задача 27. Построить проекции поверхности, заданной разверткой и линией AB на ней.

Задача 28. Построить фронтальную и профильную проекции линии пересечения поверхности пирамиды с поверхностью вертикального сквозного цилиндрического отверстия радиусом 10 мм. Построить стандартную аксонометрическую проекцию пирамиды с вырезом.

Задача 29. Достроить прямоугольный DАВС, если АС - гипотенуза, расположенная горизонтально, угол при вершине С равен 30°, а вершина В выше точки А. Сколько решений?

Задача 30. Построить сферу, на поверхности которой находятся 4 точки пространства.

Задача 31. Построить плоскость , лежащую на трех сферах с центрами соответственно в точках A, B и C.

Задача 32. Построить сферу, вписанную в пирамиду. Выполнить эти построения на эпюре Монжа и в стандартной аксонометрии. Построить развертку поверхности пирамиды. Вычислить площадь развертки.